DSE數學MC -- 對數應用-比較數字大小(Applications of logarithms - Comparing the size of numbers) 精選

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比較數字大小這一個DSE題形很難令人想到原來是與對數的應用有關,更加想不到的是原來對數可以為我們找到關於大形數字的很多意想不到的特性。在這篇文章中,首部份將會教授如何利用對數去比較數字的大小以及找出數字的位數。在第二部份證明+學更多(Proof+Extra)將會簡單證明為何使用對數可以找出數字位值以及教授如何利用對數找出大形數字的第一個位值是什麼。當然,在DSE考試中只需了解首部份即可。

 

技巧1: 對數特性

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如果a大於b,那麼log a也會大於log b。

 

技巧2: 利用對數找出數字的位數

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把log10n夾住的是Floor Function,即把數字下捨入至最接近整數。這算式的簡單證明在最底下的證明+學更多(Proof+Extra)。

 

例題1: 2014年 DSE Paper 2 Q33

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使用技巧1,計數每個數字log了之後的數值。數值如下:

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然後找出log了之後最大的一個,即B。它就會是所有數字中最大的一個。所以答案是B。

 

例題2: 2009 CE Paper 2 Q38

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使用技巧2找出數字的位數。

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數字10a所擁有的位數是a+1,這只要想想102是100(3個位)就不難想出。所以C: 1010000(10001位)是最好的估計值。

 

證明+學更多(Proof+Extra):

要證明技巧2的算式要知道兩個很簡單的對數特性。第二個特性老師很有可能教過但從未使用,在這裡便需要到。

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把數字n表達成10log10n的形態然後想想數字10a所擁有的位數是a+1。就發現了原來任何數字的位數就會是(log10n)+1,當然緊記要把log10n下捨入至最接近整數。

以下則以例題2的天文數字示範找出第一個位是什麼的步驟。

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首先使用上述特性把數字n轉變成10log10n的形態。

然後計數出log10n的估計值。

到1010000.404時把小數部份與整數部份分開,然後使用計數機計出小數部份的值。

計算到最後2.53*1010000,就可以得出第一個位是2的結論了。

其他數字的做法也大同小異,不妨嘗試一下吧。

不相信?看看Wolfram Alpha吧!

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最後修改於2015 年 8 月 4 日 20:05
uuuuuuu

實不相瞞,這篇自我介紹是抄果汁機大叔那篇的了@@至於點解,就是純粹不想去想了(;一_一)。

興趣:追風,動漫與日文(;^ω^)。特異功能:知道幾時有假放(#・∀・)。

以上ε≡≡ヘ( ´Д`)ノ