[物理]幾何圖形的質心(Center of mass of different geometric shapes)

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本文主要列舉一些幾何圖形質心的計算方法。

如何你不清楚什麼是質心,可以去看這篇文章。

數學及物理前提

1. 質心的位置向量(position vector of center of mass)公式
離散形式

\[\vec{\mathbf{r}}_{cm} = \frac{\sum_{i} \left (m_{i} \times \vec{\mathbf{r}}_{i}  \right )}{\sum_{i}m_{i}} = \frac{m_{1}\times \vec{\mathbf{r}}_{1}+m_{2}\times \vec{\mathbf{r}}_{2}+m_{3}\times \vec{\mathbf{r}}_{3}+\cdots + m_{n}\times \vec{\mathbf{r}}_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots+m_{n}}\]

以分量(component)表示 

\[x_{cm} = \frac{\sum_{i} \left (m_{i} \times x_{i}  \right )}{\sum_{i}m_{i}} = \frac{m_{1}\times x_{1}+m_{2}\times x_{2}+m_{3}\times x_{3}+\cdots + m_{n}\times x_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots+m_{n}}\]

\[y_{cm} = \frac{\sum_{i} \left (m_{i} \times y_{i}  \right )}{\sum_{i}m_{i}} = \frac{m_{1}\times y_{1}+m_{2}\times y_{2}+m_{3}\times y_{3}+\cdots + m_{n}\times y_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots+m_{n}}\]

\[z_{cm} = \frac{\sum_{i} \left (m_{i} \times z_{i}  \right )}{\sum_{i}m_{i}} = \frac{m_{1}\times z_{1}+m_{2}\times z_{2}+m_{3}\times z_{3}+\cdots + m_{n}\times z_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\cdots+m_{n}}\]

積分形式

\[\vec{\mathbf{r}}_{cm} = \frac{\int \vec{\mathbf{r}}\, dm}{M}\]

為了讓\(\vec{\mathbf{r}}\)與\(dm\)形成關係,一般會使用密度公式\(m = \rho V\),若密度不變,兩邊取微分後\(dm = \rho \, dV\),代入上式,即

\[\begin{split}\vec{\mathbf{r}}_{cm} &= \frac{\int \vec{\mathbf{r}}\, dm}{M} \\ &= \frac{\rho \int \vec{\mathbf{r}} \, dV}{M} \end{split}\]

以分量表示

\[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{M}\]

\[y_{cm} = \frac{\int y \, dm}{M}\]

\[z_{cm} = \frac{\int z \, dm}{M}\]

 

以下假設幾何圖形的密度是均衡(Uniform)的。

例子1-倒圓錐體的質心(Center of mass of an inverted cone)

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假設倒圓錐體的底半徑為R,高度為H,那麼它的質心會在哪呢?

由於對稱,x方向及y方向的質心位置向量分量均位於原點。需要使用公式進行積分的只有z方向。

\[x_{cm} = 0 \\ y_{cm} = 0\]

\[\begin{split} z_{cm} &= \frac{\int z\, dm}{M} \\ &= \frac{\rho \int z \, dV}{M} \\ \end{split}\]

這時候我們可以如何改變\(dV\)令其與\(z\)有關係呢?我們可以沿z軸把倒圓錐體切成多個小圓柱體(如圖示),每個小圓柱體的體積就是\(dV = \pi r^2 dz\),這時候我們還需要換走\(r\),利用相似三角形,我們可以得到

\[\begin{split} \frac{r}{R} &= \frac{z}{H} \\ r &= z\frac{R}{H} \\dV &= \pi z^2 \frac{R^2}{H^2}dz \end{split}\]

最後只要計算積分就知道答案了。

\[\begin{split} z_{cm} &= \frac{\rho \int z \, dV}{M} \\ &= \rho \frac{\pi R^2 \int_{0}^{H} z^3 dz}{MH^2} \\ &= \rho \frac{\pi R^2 H^4}{4MH^2} \\ &= \frac{\rho \, \pi R^2 H^2}{4M} \end{split} \]

最後要把\(\rho\)換走,要如何做呢?要知道\(M = \rho V\),總質量等於總體積乘以密度。倒圓錐體的總體積為\(\frac{1}{3} \pi R^2H\)。故此

\[\rho = \frac{3M}{\pi R^2H}\]

代入上式

\[\begin{split}z_{cm} &= \frac{\rho \, \pi R^2 H^2}{4M} \\&= \frac{3 \pi MR^2H^2}{4\pi MR^2H} \\&= \frac{3}{4}H \end{split}\]

最後修改於2017 年 8 月 23 日 17:50
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香港人。現為本地大學物理系本科生。