[博弈論]Do姐的兩票比你想像中更具影響力 精選

article image圖片來源: 香港01 (無線電視截圖)

昨日是港姐總決賽的日子,在節目中最受爭議的當然是在投票環節中鄭裕玲(Do姐) 自己既是 8 位有投票權的評審之一,而又能在相同票數時再投一票。湊巧投票中真的出現相同票數的情況,令Do姐變相可以投 2 票,逆轉賽果。可是,Do姐 (2票,需要相同票數才可使用第2票) 在這投票中的影響力真的只是其他評審 (各1票) 的 2 倍嗎?博弈論(Game theory) 能夠給予我們答案。

在分析港姐選舉前,先看一個較簡單的例子了解為何擁有票的數量與在選舉中的影響力沒有十分直接的關係。假設在立法會選舉中有3個黨派,先假設它們的名字是 DAB,DP 及 CP 好了,而DAB 擁有3票,DP 擁有3票,CP 擁有1票。要通過議案需要過半票數支持,眼利的讀者可能很快就看得出,即使 3 個政黨的票數不同,他們在選舉中的影響力其實是一樣的,都是 33.33%,因為通過議案的方法只有一個,就是得到任意2黨的支持 (DAB+DP 或 DAB+CP 或 DP+CP)。

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圖1: 模擬3黨票數分佈

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圖2: 模擬3黨投票中的影響力

上方提及了政黨的影響力為 33.33%。這個數字是如何計算出黎的呢?實際上,這個所謂「影響力」在學術上稱為 Shapley-Shubik Power Index(\(\varphi_i\)),其複雜的公式如下:

\[\varphi_i = \frac{1}{n!} \sum_{i \, swings\, in\, S} (s-1)! (n-s)!\; \; \; \; (s = \left | S \right |)\]

看不明白?很正常,但從公式及上述例子中我們能夠知道決定影響力的一個十分重要因素是遊離票(swing vote)何時會影響大局。

知道公式後,我們就能夠算出在港姐選舉中Do姐的影響力是多少了!

經過計算後,一般評審的影響力為 10.71%,而Do姐的影響力為 25.00%。在這樣的選舉規則下,Do姐的影響力實際為一般評審的 2.33 倍,難怪會受到不少批評。

article image電影<<表姐,妳好嘢!>>截圖

不過我們的黨很寬大,假設Do姐從一開始就擁有2票,影響力會如何變化?實際上,Do姐的影響力仍然是25.00%!什麼,原來相同票數才可投第2票實為一遮眼法,不會影響Do姐在投票中的影響力。

Ref: Ch.26-27, Philip D. Straffin, Game theory and Strategy, The Mathematical Association of America 1993

最後修改於2017 年 9 月 23 日 00:41
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香港人。現為本地大學物理系本科生。