[M2]6款Differentiation from First Principle必做題形

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Differentiation from First Principle 是M2中分部A最常出現的題目之一,分數介乎3-5分,只要小心及了解各題形的做法,這幾分就很容易入手。

出現了此題形的DSE試卷分別有2016年Q2(5分), 2015Q1(4分), 2014Q2a(3分), 2013Q1(4分), 2012Q1(3分)。(每年都有出現!)

本文列舉了6款Differentiation from First Principle 的題形。

 

//數學前提(建設中-Under Construction)

 

初級 基本題形

1. 多項式

多項式的題目多需使用二項式定理(Binomial Theorem)。看看以下例子吧。

Find \(x^{5}+2\) from first principle.

Step1: 先使用First principle 的公式

 \[\frac{d(x^{5}+2)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^5+2)-(x^5+2)}{h}\]

Step2: 多項式題目很多時候需要使用二項式定理(Binomial Theorem)把次方爆開。

 \[\begin{split} \frac{d(x^{5}+2)}{dx} &= \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^5+2)-(x^5+2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} ((x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5+2)-(x^5+2)) \end{split}\]

Step3: 最高次方的項及常數項自然能約去,同時也能約簡h。 

\[\begin{split} \frac{d(x^{5}+2)}{dx} &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}
((x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5+2)-(x^5+2)) \\ &= \lim_{h \to 0} (5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4) \end{split}\]

Step4: 直接計算極限(limit)即找到答案

\[\begin{split} \frac{d(x^{5}+2)}{dx} &= \lim_{h \to 0} (5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4) \\ &= 5x^4+10x^3(0)+10x^2(0)^2+5x(0)^3+(0)^4 \\ &= 5x^4 \end{split} \]

 

完成後謹記自行微分(Differentiate)一次看看是否正確。

試試看: Find \(\frac{1}{x^2}\) from first principle.

注: 實際上計算更高次方時不會使用二項式定理,而是有更好的方法,這裡不作介紹。

 

2. 根式

根式的問題需要使用有理化(Rationalisation)的方法處理。先看看以下例子吧。

Find \(\frac{2}{\sqrt{x}}\) from first principle.

Step1: 先使用First principle 的公式

\[\begin{split} \frac{d(\frac{2}{\sqrt{x}})}{dx} &= \lim_{h \to 0}\frac{\frac{2}{\sqrt{x+h}}-\frac{2}{\sqrt{x}}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}} \end{split}\]

Step2: 根式題目需使用(分子或分母)有理化(Rationalisation)的技巧處理

\[\begin{split}\frac{d(\frac{2}{\sqrt{x}})}{dx} &= \lim_{h \to 0} \frac{2(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{2(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}} \cdot \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}{(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{2((\sqrt{x})^2-(\sqrt{x+h})^2)}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{2(x-(x+h))}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \end{split} \]

Step3: h自然能約簡

\[ \begin{split} \frac{d(\frac{2}{\sqrt{x}})}{dx} &= \lim_{h \to 0} \frac{2(x-(x+h))}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{-2h}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-2}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \end{split} \]

Step4: 直接計算極限(limit)即找到答案

\[ \begin{split} \frac{d(\frac{2}{\sqrt{x}})}{dx} &= \lim_{h \to 0} \frac{-2}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \\&= \frac{-2}{\sqrt{x+0}\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{x+0})} \\&= \frac{-2}{2 \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x}} \\&= \frac{-1}{\sqrt{x^3}} \end{split} \]

 

完成後謹記自行微分(Differentiate)一次看看是否正確。

試試看: Find \(\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\) from first principle.

 

中級 進階題形

3. 三角函數(sin, cos, tan) (建設中-Under Construction)

 

4. 三角函數(cosec, sec, cot) (建設中-Under Construction)

 

5. \(e^{ax}\) (建設中-Under Construction)

高級 高階題形

6*. \(\ln {ax}\) (建設中-Under Construction)

最後修改於2017 年 9 月 5 日 23:10
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香港人。現為本地大學物理系本科生。