DSE數學MC -- 兩根之和/兩根之積(Sum of roots/Product of roots) 精選

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兩根之和/兩根之積(Sum of roots/Product of roots)是較為簡單的一個題形。在DSE中,只需要認識二次方程的兩根之和以及兩根之積就可以,但如果想了解更多其他方程的根和以及根積。則可以觀看在最尾的證明+學更多!(Proof + Extra!)的部份。兩根之和以及兩根之積的問題會在MC以及Paper I的Section B出題。即使是在Section B這最難的部份出題,但只要了解二次方程特性以及兩根之和/兩根之積就能夠輕易完成。

技巧1: 兩根之和/兩根之積

作為一個二次方程,ax2+bx+c=0。會有兩個根(roots),一般都會標示為α以及β

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這表示把x代α以及β都是符合等式的。所以也可以用以下的形式表達,上者及下者兩者之間可以互換。

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技巧2: 根與係數的關係

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兩根之和是-b/a,兩根之積是c/a。

證明的方法在文章的最後。小編建議直接記住這二個關係。

 

例題1: 2013 Paper 2 Q35

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根據技巧1,α以及β都是根,以及可以換成x2-3x-5=0。題目要求找兩根之和,根據技巧2,即是-5。所以答案是D。

如果遇到更難的問題時,可以直接使用計數機把兩個根的值計算出來。

 

例題2: PP Paper 1 Q17 bi)

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a)1/5-2/5(不在這文章教學範圍內)

bi) 

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bii)r≥16 (不在這文章範圍內)

 

證明 + 學更多! (Proof + Extra!) : 

要證明兩根之和以及兩根之積的公式,首先我們需要知道二次方程除了以ax2+bx+c=0的形式表達以外,還可以用根的形式表達成a(x-α)(x-β)=0

然後就可以將a(x-α)(x-β)=0展開。

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把ax2-a(α+β)x+aαβ=0與ax2+bx+c=0比較係數則能得到兩根之和以及兩根之積的公式。

 

[已非DSE程度]以同樣的方法,套用至三次方程就能發現

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(αβγ是三次方程的三個根)

其實根與係數之間的關係是有規律的,嘗試一下四次方程以及更高次方的方程找出關係吧!

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(αβγδ是四次方程的四個根)

再想知道更多的話可以上網搜尋Vieta's Formula。

在此留下一條2000年Pure Math(中七程度)Paper 1 Q7讓有興趣的人嘗試:)

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上一個系列: 下一個系列:  最後修改於2015 年 8 月 27 日 16:21

uuuuuuu

香港人。現為本地大學物理系本科生。